Geometrias: Euclidiana, Esférica e Hiperbólica

O texto aborda as Geometrias Euclidiana, Esférica e Hiperbólica através de exemplos concretos que possibilitam ao leitor visualizar os elementos geométricos e fazer os cálculos explicitamente.  Em cada uma das Geometrias citadas,  os seguintes itens resumem a abordagem dos conteúdos:

(1)   São obtidas as propriedades métricas fundamentais resultantes da métrica riemanniana. Por exemplo: o cálculo dos comprimento de curvas, a classificação das geodésicas, as relações métricas nos triângulos e nos polígonos e a determinação da estrutura algébrica dos grupos de Isometria. 

(2)   São estudadas as simetrias de cada Geometria obtidas pela ação dos subgrupos discretos do Grupo de Isometria e a obtenção do Espaço Orbital correspondente. No caso Euclidiano, obtemos a classificação completa dos 17 Grupos Cristalográficos e de seus espaços orbitais. No caso esférico,  é descrita a classificação dos subgrupos que agem descontinuamente sobre a esfera e, no caso Hiperbólico, é feito um estudo aprofundado dos Grupos Fuchsianos para mostrar a existência de uma estrutura hiperbólica sobre uma superfície fechada de genus