Introdução à Teoria dos Números

O livro O livro é uma introdução à Teoria dos Números, escrita em linguagem acessível a alunos a partir do segundo ano de graduação. Vários resultados importantes são precedidos de exemplos com o objetivo de ilustrar as idéias utilizadas nas demonstrações. Além dos problemas propostos há um significativo número de problemas resolvidos. Para alguns importantes teoremas são apresentadas, também, demonstrações combinatórias. Descrição O estudo das propriedades dos números inteiros positivos é o objetivo central da Teoria dos Números. São três os principais ramos em que se divide a Teoria dos Números: Teoria Elementar, Teoria Analítica e Teoria Algébrica. Neste livro nos limitamos à parte elementar da Teoria dos Números, onde apresentamos resultados básicos, não apenas para o estudo das partes Analítica e Algébrica, como também, para os demais ramos da Matemática. Introduzimos os conceitos através de um significativo número de exemplos procurando, desta forma, motivar o leitor antes deste ter contato com demonstrações formais. No Capítulo 1, estudamos propriedades elementares sobre divisibilidade no conjunto dos números inteiros, sendo Algoritmo da Divisão (Teorema 1.2) o resultado mais importante. Duas das várias provas da infinitude dos primos são fornecidas. No Capítulo 2, introduzimos o importantíssimo conceito de congruência onde a contribuição de Gauss foi fundamental. Teoremas de Euler, Fermat e Wilson são apresentados, não deixando de discutir o chamado Teorema do Resto Chinês. O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Capítulo 3, nem sempre é encontrado em textos introdutórios como este. Nosso objetivo, ao fazer isto, foi o de apresentar alguns aspectos combinatórios relacionados com Teoria dos Números. Demonstrações combinatórias para o Pequeno Teorema de Fermat e para o Teorema de Wilson são apresentadas neste Capítulo. No capítulo 4, introduzimos algumas importantes funções aritméticas e relações entre elas. Além de uma caracterização dos números perfeitos pares dada por Euclides e Euler, introduzimos a importantíssima seqüência dos Números de Fibonacci. No estudo de Resíduos Quadráticos, feito no Capítulo 5, introduzimos o Símbolo de Legendre que nos permite obter informações sobre a existência ou não de soluções para a congruência X² equivalente a (modp). Nisto também contribuíram, de forma fundamental, Euler e Gauss. Apresentamos uma das várias demonstrações existentes da chamada Lei de Reciprocidade Quadrática de Gauss. Uma completa caracterização dos números que possuem raízes primitivas é dada no Capítulo 6. No Capítulo 7, fornecemos alguns resultados clássicos sobre a representação de inteiros como soma de quadrados. Frações contínuas, objeto de estudo do Capítulo 8, é uma vasta área em Teoria dos Números, da qual apresentamos apenas alguns importantes resultados dentre os quais destacamos a obtenção de aproximações de irracionais por racionais. O conceito de Partições de um inteiro, onde Euler contribuiu de maneira fundamental, é introduzido no Capítulo 9, fornecendo uma demonstração combinatória para o Teorema dos Números Pentagonais de Euler. A equivalência entre a Primeira e Segunda formas do Princípio da Indução Finita e o Princípio da Boa Ordem é dada no Apêndice A. No Apêndice B, apresentamos mais duas provas da infinitude dos primos. Um interessante resultado sobre a distribuição dos primos, o Postulado de Bertrand, é fornecido no Apêndice C. Conteúdo Divisibilidade 1.1 Introdução 1.2 Divisibilidade 1.3 O Algoritmo da Divisão 1.4 O Máximo Divisor Comum 1.5 O Algoritmo de Euclides 1.6 Números Primos 1.7 Mínimo Múltiplo Comum 1.8 Critérios de Divisibilidade 1.9 Problemas Resolvidos 1.10 Problemas Propostos Congruência 2.1 Congruência 2.2 Congruência Linear 2.3 Os Teoremas de Euler, Fermat e Wilson 2.4 O Teorema do Resto Chinês 2.5 Problemas Resolvidos 2.6 Problemas Propostos Teoria Combinatória dos Números 3.1 Princípio da Casa dos Pombos 3.2 Generalizações - Exemplos 3.3 Demonstração Combinatória do Pequeno Teorema 3.4 Demonstração Combinatória do Teorema de Wilson 3.5 Problemas Propostos Funções Aritméticas 4.1 Funções Aritméticas 4.2 A Função Phi de Euler 4.3 A Função µ de Möbius 4.4 A Função Maior Inteiro 4.5 Uma Relação Entre as Funções Phi e µ 4.6 Números Perfeitos 4.7 Recorrência e Números de Fibonacci 4.8 Problemas Resolvidos 4.9 Problemas Propostos Resíduos Quadráticos 5.1 Resíduos Quadráticos 5.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler 5.3 Lema de Gauss 5.4 Lei de Reciprocidade Quadrática 5.5 Símbolo de Jacobi 5.6 Problemas Resolvidos 5.7 Problemas Propostos Raízes Primitivas 6.1 Raízes Primitivas 6.2 Raízes Primitivas Módulo p^t 6.3 Raízes Primitivas Módulo 2p^t 6.4 Somente 1, 2, 4, p^t, 2p^t Possuem Raízes Primitivas 6.5 Símbolo de Jacobi 6.6 Problemas Resolvidos 6.7 Problemas Propostos Representação de Inteiros como Soma de Quadrados 7.1 O Problema de Waring 7.2 Soma de Dois Quadrados 7.3 Soma de Quatro Quadrados 7.4 Um Teorema de Unicidade de Euler 7.5 Problemas Resolvidos 7.6 Problemas Propostos Frações Contínuas 8.1 Definição - Notação 8.2 Convergentes 8.3 Aproximações Sucessivas 8.4 Propriedades dos Convergentes 8.5 Problemas Resolvidos 8.6 Problemas Propostos Partições 9.1 Partições 9.2 Gráfico de uma Partição 9.3 Funções Geradoras 9.4 Problemas Resolvidos 9.5 Problemas Propostos A - Os Princípios da Boa Ordem e da Indução Finita B - Sobre a Infinidade dos Primos C - O Postulado de Bertrand Bibliografia